数学组合非常适宜用一个类来实现。你需要数据成员存储 n 的值（条目总数），k（每个子集元素的条目个数）的值，以及一个数组来保存每个组合元素的“原子”。 Figure 3 是表述某个Combination（组合）对象的基本代码和创建该组合对象第一个词典元素的构造函数，以及将它表示为一个字符串的代码。我决定使用C#，但你可以 轻松地将它改编为你所选的任意一种基于 .NET的编程语言。

　  我将这个代码放入类库（Class Library）编译后，我可以给它增加一个工程选项参数（Project Reference），并从 .NET 控制台 程序调用它，就象我在此所做的这样：

    我在内存中获得一个对象，它表示五个条目中一次取三个的最初的词典排序的数学组合元素。内存中的对象可以被表示为如 Figure 4 所示。

    Figure 4 内存中的对象

　  构造函数代码创建最初的组合元素时是相当简单的。两个代表条目总数和子集大小的参数被分别存储在数据成员 n 和 k 中。因为我处理的数值可能会很大， 所以我决定使用 C# 的 long 类型代替int 类型。如果我愿意的话，我可以用 ulong 类型（无符号 long）获得双倍的数值范围。我用子集的大小 k 来为一个 long 类型的命名数组分配空间，然后用 0 到 k-1 范围的整数填充每个数据单元。

　  计算组合元素的个数

　  现在我已经确定了如何创建一个组合对象，让我们看看组合的三个基本操作的第二个——根据某个给定的条目总数 n 及子集大小 k 来计算组合元素的总数。举个例子，如果你处理一次从 n＝5 条目中取 k＝3，这里有10种可能的组合元素：

    我想实现一个 Choose(n,k) 函数，它返回组合元素的个数；Choose(5,3) 返回10。查找现有的Choose 实现，我惊讶地发现 Internet 上的大多数算法都很不耐用。在我向你展示我的 Choose 实现之前，让我们简要地审视一下 Choose 函数的标准实现。

　  编写 Choose(n,k) 函数的标准方法是直接使用其定义公式。这是一个明显的但是拙劣解决方案。这里是一个用 C# 编码的典型 Choose(n,k) 函数 ：

　  这里的 Choose(n,k) 实现有几个问题：最严重的是它会因为当 n 和 k 的值十分小时而溢出。注意这个 Choose(n,k) 首先计算 Factorial(n)， 即便 n 是一个很小的值，它也会迅速增大到一个非常大的数 ( 比如，21! 将溢出一个无符号的 64 位数)。其次 Choose(n,k) 的值由两个阶乘的乘积 来除，这也可能成为一个非常大的数，得出的结果可能非常小。关键是即使 Choose(n,k) 返回的结果很小，中间计算结果很容易溢出。

　  一个更好的 Choose(n,k) 实现使用一个不同的方法计算其答案。改版的 Choose(n,k) 使用以下不同的公式来计算：

　  这个算法取代了原来计算分子（一个大数），然后计算分母（一个大数），然后相除，你可以计算部分乘积法并随意进行除法运算。对于 Choose(7,3) 例子，你 先计算 7 * 6 并除以 2，得到 21（译注：原文为“getting 24”显然不对，7 * 6/2＝21）(跳过此分数下面部分的第1项，因为被1除是没有作用的)。这时用5乘以部分乘积并用3除，你可以得到答案35， 和前面的结果一样。
    这里对 Choose(n,k) 的第二次优化是由以下特性产生的：

　  举个例子，Choose(10,8) = Choose(10,2)。这不是一个明显的关系，但是如果你用一些例子来试验的话，你将看到为什么这是对的。直接计算 Choose(10,8) 之间涉及到计算七个部分乘积和七个除法，但是计算等价的 Choose(10,2) 只要求一个乘法和一个除法操作。

　  综上所述，我实现的 Choose(n,k) 如 Figure 5 所示。在 Choose 函数中，我对 n 等于 k 的情况进行了快速检查，如果为真，则返回 1。而 Choose 算法中没有对之进行检查，但它改进了生成特定 Combination 对象元素的方法性能。Choose 实现的剩余部分用我刚刚解释的算法计算元素的总数。