1  引言

    　目前，关于疲劳寿命的估算方法基本上是两种，即基于试验的S-N曲线法和基于疲劳裂纹扩展的断裂力学方法。多数国家采用S-N曲线法，但挪威船级社等已把断裂力学方法和S-N曲线法都列入规范作为疲劳寿命估算的分析方法。S-N曲线法具有广泛的可用性，而断裂力学方法是一个更合适的方法。因为断裂力学方法可以比较真实地模拟构件表面裂纹从萌生至扩展失效的全过程，而且所需的投资远比基于大量模型试验的S-N曲线法少，因此，它已逐渐成为各国疲劳断裂研究的主要发展方向。

    　为了进一步探明三维表面裂纹在疲劳载荷下的扩展规律，本文对于含半椭圆三维表面裂纹在等幅拉伸载荷作用下的扩展，特别是疲劳裂纹扩展过程中其形状的变化规律进行探讨，与理论公式进行对比分析，获得了一种推导疲劳裂纹扩展过程中裂纹形状的有效方法。

   　 2 三维表面裂纹扩展的理论推导

    　为了计算出裂纹扩展过程中半椭圆形裂纹的深度和表面半长度之比 的变化规律，如图1所示对裂纹深处A和表面处C分别应用Paris裂纹增长公式，得到：
                                    (2.1)

                                    (2.2)

    式中：  分别为裂纹表面C和深处A的应力强度因子幅值。由式(2.1)，(2.2)可以得到：
                                         (2.3)

    　通过对式(2.3)的积分就可以得到半椭圆形裂纹的深度和表面半长度之比 的变化规律。三维表面裂纹的应力强度因子K虽有几个可行的表达式，但目前被广泛应用的是Newman-Raju公式：

                               (2.4)

    　式中，分别为拉伸、弯曲正应力，H、F是以裂纹相对深度a/t、裂纹形状比a/c 、离心角 等为参数的修正系数， 为第二类椭圆积分。

    　Newman和Raju在实验的基础上引入了 和 之间的关系：
                                         (2.5)

    　再将A、C点的应力强度因子代入式(2.3)中去得到[1]：
       (2.6.1)

    　文献[2]在 =的情况下得到：

        (2.6.2)

    　对于(2.6.1)和(2.62)式的求解要采用数值积分的方法进行。

    　记：x=a/t ，y=a/c ，则(2.6.1)、(2.6.2)式的变换过程为：a=xt ，c=a/y=xt/y ， ，考虑到厚度t为一个常数，(2.6.1)和（2.6.2）式可以进一步写为：
 
   　 移项变成：                                        (2.7)

    　当初始裂纹形状比、相对深度和裂纹扩展的材料常数已知时，由上式可求得各种载荷下裂纹形状变化规律。对式(2.7)的数值积分结果得到 a/c和a/t 之间的关系，于是式(2.4)的应力强度因子K就仅是a/t 的函数，对于式 的积分就可以进行下去，直至裂纹深度达到破坏值，这样就得到疲劳裂纹扩展的寿命以及裂纹的扩展形状。

    　3有限元计算

(a)两自由度裂纹扩展计算模型

(b) 多自由度裂纹扩展计算模型

图1 半椭圆形状的裂纹扩展模型

    　图1所示含表面裂纹构件裂纹扩展计算的两种计算模型[3]，即：两自由度裂纹扩展模型和多自由度裂纹扩展模型。两自由度模型的基本计算过程是：在A、C两点应用Paris公式计算裂纹增长量，假设表面裂纹在扩展过程中沿裂纹线的法线方向保持半椭圆形状，但是半椭圆形裂纹的深度和表面半长度之比a/c之比将发生变化，并不保持为常数。本文以平板模型为例，如图2所示，计算过程与其他方法所不同的是通过给定裂纹深度方向扩展增量，利用ANSYS软件求出A、C两点的应力强度因子，然后再利用paris公式计算表面半长度，获得疲劳裂纹扩展的形状变化规律。

3.1  对裂纹扩展的影响

    　为了达到较好的计算精度，必须选择一个合理的疲劳裂纹深度方向扩展增量，这也是本文与其他一些方法不同之处。图2是通过ANSYS软件建立裂纹体平板模型，其中裂纹前缘采用1/4节点等参退化奇异单元。通过此模型讨论了在 、 的等幅拉伸循环载荷下，表面裂纹深度方向扩展增量 =3、1、0.5和0.25mm时，对裂纹形状变换规律的影响。

a

b

图2 裂纹体的有限元网格模型

    　如图3（a）、（b）、（c）所示，计算结果趋势相同，当 =3mm时，与 ＝1、0.5和0.25mm结果偏离较大，而且当 ＝0.5和0.25mm时，两条曲线基本重合，与 ＝1时，基本接近。所以当取 1、0.5和0.25mm时，裂纹扩展形状基本一致，为节省计算量，本文取= 1mm。其中图3（d）为 1mm时，在不同板厚t＝10、15和30mm情况下疲劳裂纹扩展的形状变化。

（a） 

（b）

（c）

 
（d） 1mm时疲劳裂纹扩展形状变化

图3  的取值对裂纹扩展规律的影响

3.2裂纹疲劳扩展的形状变化规律

    　如图1两自由度模型所示，取裂纹上一点i 的变化过程为研究对象，每加载一个峰谷循环，裂纹前沿扩展一次，伸展至图1所示新裂纹上的点i+1 ，对于研究点i ，裂纹前沿的应力强度因子幅值 、 可用有限元计算得到，则由(2.3)式可计算出：
                           （3.1）

    　再由这两点拟合出裂纹前沿 i+1点形状参数比 ，循环利用(3.1)式便可以计算出整个扩展过程。直至表面裂纹扩展至某一临界深度为止。

    　从图4中可以看出，不同裂纹初始形状参数比 值， a/c的极限值不同，但有相同的变化趋势；裂纹扩展过程中a/c 的比值不再保持为常数；随着裂纹的扩展过程而不断发生变化，变化的最终趋于初始条件为 ＝1的 a/c变化过程。

   　 在a/t 小于0.6的范围内本文计算结果与理论公式吻合较好；在a/t 大于0.6后预测结果比理论推导结果偏低，这可能是因为裂纹较深后，裂纹深处至未裂表面间的条带屈服的影响，以及a/t 较大后应力强度因子计算公式的误差造成的。

   　 （1）如图4（a），在a/t等于0.9时：
   
    　当 =0.6、0.8、1.0时 a/c趋近于0.81，比公式值低4.2%； =0.4时 a/c趋近于0.77，比公式值低4.9%； =0.2时 a/c趋近于0.63，比公式值低5.9%；

   　 （2）如图4（b），在a/t等于0.9时：

    　当 =0.6、0.8、1.0时 a/c趋近于0.7，比公式值低7.9%； =0.4时 a/c趋近于0.68，比公式值低8.1%； =0.2时 a/c趋近于0.58，比公式值低7.9%；

(a) 

(b) 

图4 裂纹扩展过程中裂纹深度和表面裂纹半长度之比a/c的变化

    　4结论

   　 本文对拉伸载荷作用下是疲劳裂纹扩展过程中其形状的变化规律进行了探讨，并进行了寿命预测，其结论如下：

    　(1)综合运用Paris-Erdogan的裂纹扩展公式和Newman-Raju的应力强度因子公式，可从理论上推导了各种条件下三维表面裂纹形状的变 化规律。另外，通过ANSYS软件计算裂纹前缘应力强度因子，得到裂纹形状变化规律，最后，对两种方法的计算结果进行了比较。

   　 (2)利用本文方法，可选择多自由度表面裂纹模型进行计算机模拟裂纹疲劳扩展，能较全面地研究裂纹形状变化情况，是研究裂纹疲劳扩展特性及构件疲劳失效原因行之有效的方法。

    　(3) 由算例可以看到，利用本文方法计算平板表面疲劳裂纹扩展，具有工作量小、程序实现方便、计算精度高的优点，为结构的疲劳裂纹扩展数值分析提供了强有力的工具。

    　(4) 由于Newman-Raju公式只能用于规则平板、中心裂纹的情况。对于复杂结构模型就不再适用，应用本文提供的方法可以获得各类含表面裂纹的复杂结构的裂纹形状扩展规律。这就为用有限元分析表面裂纹在工程中的直接应用，提供了更大的方便（E-works)